ПРИЛОЖЕНИЕ

к письму Министерства образования

Московской области

от 20.11.2009 № 9139-05о/07

Инструктивно-методическое письмо

о преподавании математики в 2009 - 2010 учебном году

в общеобразовательных учреждениях Московской области

Основные задачи модернизации российского образования – повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает не только масштабные структурные, институциональные, организационно-экономические изменения, но в первую очередь – значительное обновление содержания образования, прежде всего общего образования, приведение его в соответствие с требованиями времени и задачами развития страны. Главным условием решения этой задачи является выполнение государственного стандарта общего образования (утвержден приказом Минобразования России №1089 от 5 марта 2004г.) и ФБУП (утвержден приказом №1312 от 9 марта 2004г.).

Основное общее образование.

Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации и соответственно Региональному базисному учебному плану для образовательных учреждений Московской области на 2009/10 учебный год на изучение математики на ступени основного общего образования отводится не менее 875ч. Из расчета 5 ч. В неделю с V-IX классы. Примерная программа рассчитана на 875 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 90 учебных часов для реализации авторских подходов, использование разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.

Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точное название блоков).

Одно из важнейших содержательных отличий стандарта математического образования от действующего ранее минимума содержания состоит во включении нового материала. Стохастическая линия строится как объединение трех взаимосвязанных составляющих: элементов комбинаторики, вероятности и статистики и изучается как в основной так и в старшей школе. Новым является так же явное выделение в содержании образования элементов логики, что, с одной стороны, диктует необходимость усиление внимание в процессе обучения к логическому развитию учащихся, а с другой – регламентирует требования к системе логических понятий и логическому языку, которыми должны овладеть все учащиеся. Содержание всех учебно-методических комплектов к 2007 году приведены в соответствие со стандартом.

Разгрузка содержания математического образования основной школы незначительна, она обеспечена выделением материала, подлежащего изучению, но не включаемого в требования к уровню подготовки выпускников. Доля такого материала в стандарте составляет около 12%. Это не приводит к ломке системы обучения математике, сложившейся в многолетней практике работы школы.

Среднее (полное) общее образование.

Принципы построения федерального базисного учебного плана для X-XI классов основано на идеи двухуровневого (базисного и профильного) федерального компонента государственного стандарта общего образования. Стандарта математического образования для 3 ступени школы предусматривает существенные различия уровней усвоения математики.

Старшая школа (базовый) уровень.

Базовый курс обеспечивает потребности учащихся в изучении других предметов и получении высшего образования в областях, где не предъявляются высокие требования к владению математическим аппаратом. Базовый курс сформирован как продолжение курса основной школы и имеет общеобразовательный характер со значительным вниманием к интеллектуальному и общекультурному развитию учащихся. В него включены вопросы статистики и теории вероятностей. По сравнению с действующим содержание образования разгружено за счет явного выделения вопросов, изучаемых в ознакомительном плане (вопросы выделенные курсивом).

В базовом курсе выделяется еще один уровень стандарта математического образования (базовый уровень для профилей гуманитарной направленности), для тех учащихся которые не предполагают сдавать вступительные экзамены по математике. Он представляет собой модификацию содержания базового курса на "общекультурном” уровне.

Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 280 часов из расчета 4 часов в неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, стохастике, геометрии. Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.

Формат нового ФБУП предоставляет большие возможности для реализации вариативности образования. Эти возможности необходимо использовать для организации математического образования. Поскольку математика является системообразующим предметом, итоговая аттестация по которому в форме ЕГЭ обязательна для всех учащихся, необходимо ответственно подойти к распределению вариативной части РБУПа. Необходимо отметить, что экзаменационная работа рассчитана на выпускников средних общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), изучивших курс математики в объеме обязательного минимума содержания среднего (полного) образования (приказ МО от 30.06.99 № 56) (курса В, не менее 5 часов в неделю). С целью качественной подготовки к ЕГЭ рекомендуется к 4 часам инвариантной части РБУПа добавить на изучение математики 1 час из вариативной части федерального компонента или из школьного компонента. Увеличение времени на изучение математики - важный шаг в развитии преемственности школьного и вузовского образования. Во-первых, это усилит подготовку выпускников школы по математике, экзамен по которой является обязательным фактически во всех вузах. Во-вторых, математика считается предметом, в котором приоритетно формируются общеинтеллектуальные, общеучебные умения и навыки, роль которых как одной из важнейших составных частей учебных достижений школьников постоянно возрастает.

Для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике школьникам, обучающимся в профильных классах, где не предусмотрено изучение математики на профильном уровне, можно использовать элективные курсы. При этом в наборе элективных курсов, предлагаемых школой, должны быть предусмотрены элективы именно такого типа.

Старшая школа (профильный уровень)

Профильный курс ориентирован на продолжение учащимися образования в высшей школе по специальностям, требующим достаточно высокой математической подготовки. Его содержание в целом расширено по сравнению с действующим обязательным минимумом. В частности, оно дополнено алгебраическим материалом, входящим в программу углубленного изучения математики в старших классах: делимость, многочлены, комплексные числа.

Место предмета в базисном учебном плане

Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 420 часов из расчета 6 часов в неделю. При этом учебное время может быть увеличено до 12 уроков в неделю за счет школьного компонента с учетом элективных курсов. Примерная программа рассчитана на 408 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 50 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.

Математическое образование в старшей школе складывается из следующих содержательных линий (точные названия блоков):

Блок Базовый уровень Профильный уровень Х-Х1 классы

Базовый

уровень

Х-Х1

классы Базовый уровень для профилей гуманитарной направленности Х-Х1 классы

Алгебра

(входят основы тригонометрии) 40 30

Геометрия 100 100 120

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей 20 25 20

Функции 30 35 30

Начала математического анализа 20 20 30

Уравнения и неравенства 40 40 70

Числовые и буквенные выражения - - 70

Тригонометрия - - 30

Всего 280 280 420

Резерв 30 30 50

Для перехода на профильное обучение в старшей школе МО РФ, авторами учебников разработаны рекомендации по использованию новых и действующих учебников математики на базовом и профильном уровне.

Разработаны программы элективных курсов для старшей профильной школы.

Остановимся теперь на недостатках, которые выявились в математической подготовке выпускников при сдаче ЕГЭ.

Как и в предыдущие годы, типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (Часть 1 КИМ) являются ошибки, связанные с незнанием основных формул, правил, свойств алгоритмов действий и методов решения уравнений или неравенств. Заметим, что эти ошибки, в основном, встречаются у тех выпускников, которые показали неудовлетворительный уровень математической подготовки.

Как неоднократно отмечалось, при проверке усвоения раздела "Тригонометрия" выпускники показывают самые низкие результаты.

Как показывает опыт преподавания, успеха добиваются те учителя, которые в первую очередь заботятся о понимании учащимися изучаемого материала. В методике математики для обеспечения понимания пользуются различными интерпретациями понятий, «переводами» с одного языка на другой (например, с «алгебраического» языка на «геометрический» и наоборот), а также – математическими моделями. В тригонометрии появляеются новые для учеников модели – числовая окружность и числовая окружность на координатной плоскости (в различных учебниках для 10-11 классов имеется различная терминология). Эта модель обеспечивает понимание не только вводимых определений (синуса числа и косинуса числа), но и облегчает прочное усвоение основных формул.

Подробнее остановимся на тех затруднениях, которые возникли у учащихся при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Анализ содержания этих заданий показывает, что при их выполнении не нужно проводить сложных преобразований или вычислений, не нужно изобретать новых методов решения. Вместе с тем при их выполнении зачастую нужно соотнести известный стандартный метод решения с условием задачи, что может помочь найти более рациональный способ решения. Возможно, что для выполнения необходимых для решения действий потребуется самостоятельно определить, на каком множестве чисел будут выполняться эти действия.

Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления.

Отдельные критики проведения итоговой аттестации в форме ЕГЭ были серьёзно озадачены тем, что именно эта составляющая математической подготовки почти не проверяется заданиями, включенными в варианты КИМ. Однако опасения оппонентов явно не оправданны. Анализ вариантов КИМ, неоднократно выполненный представителями школьного математического сообщества (учителями, методистами, преподавателями педагогических вузов и т.п.), убедительно показывает, что задания повышенного (а тем более высокого) уровня сложности в полной мере проверяют такие качества мышления учащихся, как глубину, гибкость, самостоятельность и т.п. Но именно в этом и состоят проблемы в организации обучения школьных «хорошистов» и «отличников». Для их решения учителям нужно организовать целенаправленную работу на уроках математики. Очевидно, что учителям математики не отведут специального времени (или специальных уроков) на формирование математического мышления, поэтому данную проблему нужно решать на каждом уроке.

Как отмечают специалисты, одним из основных путей развития мышления является решение проблемных задач. В этой связи встают два вопроса, какие задачи можно считать проблемными, как органично включать проблемные задачи в учебный материал по курсу алгебры и начал анализа? Постараемся ответить на эти вопросы. К проблемным задачам обычно относят те задачи, в которых

– предполагается перестройка знакомых (изученных) способов решения,

– проводится выбор рационального способа решения из возможных способов,

– применяются известные методы для решения новых задач,

– применяются изученные факты для решения реальных жизненных проблем и т.п.

Как видно из приведенных выше признаков проблемных задач, на уроках математики при изучении любой темы имеется реальная возможность включать такие задачи в учебный процесс, разрабатывая индивидуальный вектор подготовки (процесса обучения) учащихся, претендующих на хорошую или отличную оценку.

Таким образом, очевидно, что при подборе соответствующих задач уроки математики обладают большими потенциальными возможностями для развития мышления учащихся, а целенаправленная работы в этом направлении будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся, получающих школьные оценки «4» и «5».

Особое внимание следует уделить проблемам преподавания геометрии.

- обеспечить усвоение учащимися базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;

- сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе;

- обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;

- развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Первая из указанных проблем – это достижение обязательных требований к математической подготовке школьников. На решение этой проблемы в первую очередь должны быть направлены усилия учителя. О том, как более эффективно решать задачу систематизации знаний учащихся, много говорилось в методическом письме 2006 года. При этом подчеркивалась большая роль повторения материала, систематизированного по изученным геометрическим фигурам.

Третья и четвертая проблемы довольно тесно связаны, поскольку рассмотрение различных ситуаций применения одного и того же геометрического факта не только работает на запоминание возможных ситуаций, требующих его использования, но и способствует формированию потребности и способности анализировать особенности предлагаемой в задаче ситуации.

Отработку умения применять некий геометрический факт в различных ситуациях можно обеспечить, решая много различных задач. Этому мешает дефицит учебного времени. Поэтому для экономии времени целесообразно решать задачи по готовым чертежам. При этом достаточно потребовать от учащихся только назвать или сформулировать необходимую для решения теорему (определение) или свойство, но не выполнять само решение.

Такой же подход можно применить и в ходе обучения стереометрии. Например, если говорить об углах и расстояниях в пространстве – материале, который из года в год используется в задачах вариантов ЕГЭ и ранее предлагался на вступительных экзаменах многих вузов, и который традиционно вызывает трудности у учащихся, то можно рекомендовать при изучении каждого конкретного многогранника или тела вращения рассматривать расстояния и углы между различными элементами этих фигур (прямыми и плоскостями). Например, на доске изображаются несколько пирамид разного вида. Учащиеся должны изобразить линейный угол искомого двугранного угла и кратко записать шаги построения, продумать обоснования. Затем несколько учеников на доске выполняют соответствующие дополнительные построения, и фронтально проводится обсуждение необходимых обоснований. Подобная работа будет способствовать развитию гибкости мышления и формированию представлений о различных ситуациях, связанных с углом между рассматриваемыми плоскостями, и принесет больше пользы, чем решение полноценной задачи, посвященной одной нестандартной конфигурации.

При изучении фигур (треугольников, многоугольников, многогранников, тел вращения) можно идти в противоположном направлении: анализировать конфигурацию и отвечать на вопрос о том, какие геометрические величины здесь можно вычислить и какими способами. Например, если в трапеции провести две высоты, то появятся прямоугольные треугольники, гипотенузами которых являются боковые стороны, а если провести высоту и диагональ, – то прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ. В этих треугольниках можно применять теорему Пифагора и определения тригонометрических функций острых углов. Заметим, что в зависимости от того, в какой последовательности соответствующий материал изучается, такую работу можно проводить или непосредственно в ходе изучения материала, или только при повторении, когда уже изучены все необходимые факты. Так, указанные выше свойства трапеции, как правило, в момент прохождения темы «Трапеция» еще не изучены, и здесь речь может идти только об итоговом повторении.

Введение определений расстояний и углов в пространстве происходит, как правило, до изучения пространственных фигур. Поэтому при введении этих понятий ограничены возможности нахождения соответствующих величин в многогранниках и телах вращения. В свою очередь, при изучении фигур времени на детальную отработку всех фактов, используемых для решения задач на изучающуюся фигуру, конечно недостаточно. Как правило, учащиеся успевают решить несколько типичных задач и некоторое число нетипичных. Например, при изучении пирамиды более или менее можно успеть отработать применение понятий угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, угла между плоскостью основания и боковым ребром в правильной пирамиде. В то же время на экзамене могут предлагаться углы и расстояния в пирамиде в ситуациях, отличных от рассмотренных. Поэтому даже несложные, но нестандартные задачи такого рода посильны только самым подготовленным учащимся. В связи с этим при изучении углов и расстояний можно рекомендовать усилить внимание к этим вопросам в двух направлениях.

Можно предлагать учащимся задания на распознавание углов и расстояний в пирамидах общего вида, параллелепипедах, конусах и цилиндрах, так как в 5-6 классах, а затем в 9 классе в курсе геометрии рассматривались эти виды фигур, и учащиеся имеют о них представление. Но больший эффект, конечно, дадут подобные задания при изучении каждой конкретной фигуры и, а также при итоговом повторении.

Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи учащимся по решению дополнительных задач.

При организации изучения математики, выборе учебников и УМК рекомендуется руководствоваться следующими документами:

• приказом МО РФ № 1089 от 05.03. 2004 г. «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»;

• Стандартом общего образования по математике; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/;

• [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;

• Стандартом среднего (полного) общего образования по математике на базовом уровне; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/ [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;

• Стандартом среднего (полного) общего образования по «Математике» на профильном уровне; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/; [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;

• Примерной программой по математике [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;

• Требованиями к оснащению образовательного процесса в соответствии с содержательным наполнением стандартов по «Математике» [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования и науки РФ. Режим доступа http://www.mon.gov.ru/;

• Элективными курсами профильном обучении: Образовательная область «Математика»/ МО РФ - Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004;

• Федеральным перечнем учебников, рекомендуемых МО РФ для общеобразовательных учреждений на 2006/07 уч. год // Вестник образования. - 2005. - № 4;

• Методическими рекомендациями к учебникам математики для 10-11 классов при организации изучения предмета на базовом и профильном уровнях // Математика в школе.-2005.-№1,2.

При подготовке рекомендаций использовались материалы методического письма «О преподавании учебного предмета «Математика» в условиях введения федерального компонента государственного стандарта общего образования».